Аннотация: Настоящая работа подготовлена на основе доклада, сделанного авторами в рамках XVI Международной научной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования. Теория операторов и дифференциальные уравнения" (Владикавказ, сентябрь 2021 г.). Дается краткий обзор наших недавних результатов о связи полиномов Бернштейна и Канторовича для важного примера --- симметричного модуля. Хорошо известно, что подобные негладкие функции играют особую роль в теории аппроксимации. Посредством полученных соотношений исследование полиномов Канторовича удается во многом свести к прямому использованию свойств полиномов Бернштейна. В частности, на основном отрезке \([0,1]\) рассмотрено уклонение полиномов Канторовича от порождающего их симметричного модуля. Помимо весьма точных оценок сверху и снизу отмечена простая асимптотическая формула, действующая для уклонения во всех точках \(x\in[0,1]\) при \(n\rightarrow\infty\). Характер сходимости полиномов Канторовича оказывается принципиально иным по сравнению с тем, что дают на \([0,1]\) полиномы Бернштейна. Приведены также новые результаты о сходимости полиномов Канторовича в комплексной плоскости. Указано точное множество сходимости, совпадающее с множеством сходимости полиномов Бернштейна. Это так называемый компакт Канторовича, ограниченный лемнискатой \(|4z(1-z)|=1\). Всюду на компакте найдена скорость сходимости полиномов Канторовича к соответствующей предельной функции. В связи с лимитированным объемом статьи мы излагаем только схему рассуждений. Подробные доказательства планируется привести отдельно.
Ключевые слова: полиномы Бернштейна, полиномы Канторовича, симметричный модуль, скорость сходимости, оценки уклонения, сходимость в комплексной плоскости
Образец цитирования: Окорочков И. В., Тихонов И. В., Шерстюков В. Б. О связи полиномов Бернштейна и Канторовича для симметричного модуля // Владикавк. мат. журн. 2022. Т. 24, вып. 1. С. 87-99. DOI 10.46698/w0554-1733-2841-u
1. Lorentz G. G. Bernstein Polynomials. Toronto:
University of Toronto Press, 1953. x+130 p.
2. DeVore R. A., Lorentz G. G. Constructive Approximation. Berlin, Heidelberg, N.\,Y.:
Springer-Verlag, 1993. x+450 p.
3. Виденский В. С. Многочлены Бернштейна.
Учеб. пособие к спецкурсу. Л.: ЛГПИ им. А. И. Герцена, 1990. 64 c.
4. Bustamante J. Bernstein Operators and Their Properties. Basel:
Birkhauser, 2017. xii+420 p.
5. Тихонов И. В., Шерстюков В. Б., Петросова М. А.
Полиномы Бернштейна: старое и новое // Мат. форум. Т. 8, ч. 1.
Исследования по матем. анализу. Владикавказ:
ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2014. С. 126-175. (Итоги науки. Юг России).
6. Тихонов И. В., Шерстюков В. Б.
Приближение модуля полиномами Бернштейна //
Вестник Челябинского гос. ун-та.
Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 15, \No 26. С. 6-40.
7. Тихонов И. В., Шерстюков В. Б.
Приближение модуля полиномами Бернштейна:
новые продвижения и возможные обобщения //
Современные проблемы теории функций и их приложения:
материалы 20-й международной Саратовской зимней школы. Саратов:
ООО Изд-во "Научная книга", 2020. С. 409-414.
8. Тихонов И. В., Шерстюков В. Б., Цветкович Д. Г.
Обобщенные разложения Поповичу для полиномов Бернштейна от рационального модуля //
Итоги науки и техники ВИНИТИ. Сер. Современная математика и ее прилож.
Тематич. обзоры. 2019. Т. 170. С. 71-117.
DOI: 10.36535/0233-6723-2019-170-71-117.
9. Тихонов И. В., Шерстюков В. Б., Цветкович Д. Г.
Сравнительный анализ двусторонних оценок центрального биномиального коэффициента //
Челябинский физ.-мат. журн. 2020. Т. 5, вып. 1. С. 70-95.
DOI: 10.24411/2500-0101-2020-15106.
10. Попов А. Ю. Двусторонние оценки центрального биномиального коэффициента //
Челябинский физ.-мат. журн. 2020. Т. 5, вып. 1. С. 56-69.
DOI: 10.24411/2500-0101-2020-15105.
11. Попов А. Ю. Оценка сверху остатка степенного ряда с положительными
коэффициентами специального вида //
Челябинский физ.-мат. журн. 2017. Т. 2, вып. 2. С. 192-197.
12. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика.
Основание информатики. М.: Мир, 1998. 704 c.
13. Теляковский C. А. О приближении дифференцируемых функций многочленами Бернштейна
и многочленами Канторовича // Тр. МИАН. 2008. Т. 260. С. 289-296.
14. Канторович Л. В. О сходимости последовательности полиномов С. Н. Бернштейна
за пределами основного интервала // Изв. АН СССР. VII сер. Отд. мат.
и естеств. наук. 1931. Вып. 8. С. 1103-1115.
15. Gal S. G. Approximation by Complex Bernstein and Convolution
Type Operators. New Jersey, London, Singapore:
World Scientific, 2009. xii+338 p.
16. Тихонов И. В., Цветкович Д. Г., Шерстюков В. Б.
Компьютерное исследование аттракторов нулей для классических полиномов Бернштейна //
Фундамент. и прикл. матем. 2016. Т. 21, № 4. С. 151-173.
17. Тихонов И. В., Шерстюков В. Б., Цветкович Д. Г.
Как выглядят аттракторы нулей для классических полиномов Бернштейна //
Диф. уравнения и процессы управления. 2017. № 2. С. 59-73.
18. Тихонов И. В., Шерстюков В. Б., Цветкович Д. Г.
Об одном методе для нахождения области сходимости
полиномов Бернштейна в комплексной плоскости //
Некоторые актуальные проблемы совр. математики
и матем. образования. Герценовские чтения 2018.
Материалы науч. конф., 9-13 апреля 2018 г. СПб.:
Изд. РГПУ им. А.И. Герцена, 2018. С. 145-153.
19. Цветкович Д. Г. Подробный атлас аттракторов нулей
для классических полиномов Бернштейна //
Челябинский физ.-мат. журн. 2018. Т. 3, вып. 1. С. 58-89.
