Невырожденные канонические решения некоторой системы функциональных уравнений

Кыров В. А. , Михайличенко Г. Г.
Владикавказский математический журнал. 2022. Том 24. Выпуск 1.С.44-53.

Аннотация:
Установление возможности вложения неаддитивной двуметрической феноменологически симметричной геометрии ранга \((2,2)\) с функцией \(g(x, y, \xi, \eta) =(g^{1}, g^{2}) \) в двуметрическую феноменологически симметричную геометрию ранга \((3,2)\) с функцией \(f(x, y, \xi, \eta, \mu, \nu) =(f^{1}, f^{2}) \) приводит к задаче нахождения у соответствующей системы \( f(\bar{x}, \bar{y}, \bar{\xi}, \bar{\eta}, \bar{\mu}, \bar{\nu}) = \chi(g(x, y, \xi, \eta), \mu, \nu) \) двух функциональных уравнений невырожденных решений. Данная система решается, поскольку функции \(g\) и \(f\) ранее известны. Тогда эта система принимает явный вид: \(\bar{x}\bar{\xi}+\bar{y}\bar{\mu}=\chi ^{1}((x+\xi)y,(x+\xi)\eta,\mu,\nu ),\) \(\bar{x}\bar{\eta}+\bar{y}\bar{\nu}=\chi ^{2}((x+\xi )y,(x+\xi )\eta ,\mu ,\nu).\) Общее решение такой системы найти трудно, однако можно сначала найти каноническое решение, связанное с жордановой формой матриц второго порядка, поскольку их количество мало, а затем по нему определить общее решение с помощью подходящего невырожденного преобразования матриц и векторов. Такая переформулировка основной проблемы делает ее более простой и интересной в математическом смысле. В процессе поиска канонических решений исходной системы функциональных уравнений сначала дифференцируем по переменным \(x\) и \(\xi\), в результате получаем систему дифференциальных уравнений с матрицей коэффициентов \(A\) общего вида: \(\left(\!\begin{array}{c} {\bar{x}_{x}} \\ {\bar{y}_{x}} \end{array}\!\right)=A\left(\!\begin{array}{c} {\bar{x}} \\ {\bar{y}} \end{array}\!\right)\). Доказывается, что матрицу \(A\) можно привести к жорданову виду. Затем решается система дифференциальных уравнений с такой жордановой матрицей. Далее, с решениями системы дифференциальных уравнений возвращается в исходную систему функциональных уравнений, откуда находятся дополнительные ограничения. В итоге получаются невырожденные канонические решения исходной системы функциональных уравнений. По этим каноническим решениям затем записывается общие решения исходной системы.

Ключевые слова: геометрия двух множеств, Жорданова форма матрицы, система функциональных уравнений, система дифференциальных уравнений

Язык статьи: Русский Загрузить полный текст  

+ Список литературы